對于工程學和物理科學專業的學生來說，復分析是一門重要的學科，也是數學的核心科目。除了數學上的優雅之外，復分析還提供了強大的工具來解決非常困難或幾乎不可能用其他方法解決的問題。這篇文章為大家帶來復數分析美國留學生高分數學輔導講解。

一、關于復數分析

復數分析是對復數及其導數、操作和其他性質的研究。復數分析是一種極其強大的工具，在解決物理問題方面有著意想不到的大量實際應用。例如，輪廓積分提供了一種計算困難積分的方法，它通過研究函數在復平面靠近積分極限的區域和積分極限之間的奇異點來計算。

復分析的關鍵結果是柯西積分定理，這也是單變量復分析擁有如此多漂亮結果的原因。皮卡爾大定理(Picard's great theorem)就是復分析意想不到的力量的一個例子，該定理指出，一個解析函數在本質奇點的任何鄰域無限次地假設每一個復數，可能只有一個例外!

復數分析的一個基本結果是考奇-黎曼方程(Cauchy-Riemann equations)，該方程給出了一個函數必須滿足的條件，才能使導數的復數廣義化(即所謂的復數導數)存在。當復導數的定義 "無處不在 "時，函數就被稱為解析函數。

二、連續性

我們從一個相當微不足道的復值函數開始。假設 f 是實變量的復值函數。這意味著，如果 x 是實數，f(x) 就是復數，可以分解為實部和虛部：f(x) = u(x)+i v(x)，其中 u 和 v 是實變量的實值函數;也就是我們在實微積分中熟悉的對象。如果 u 和 v 在 x0 處連續，我們就說 f 在 x0 處連續。

復變的復值函數的連續性是一個非難性質。如果一個函數在 z 接近 zo 時接近 f(zo) 的值，那么這個函數在點 zo 上就是連續的。由于 z 位于復平面(也稱阿甘平面)中，它可以從多個方向接近該點。因此，我們需要完善我們的定義，以滿足新的需求。

形式上，如果對于任意 ε>0 存在一個 δ>0，使得所有 |z-zo|<δ 的 |f(z)-f(zo)|<ε ，我們就說 f(z) 在 zo 處是連續的。因此，只要 z 位于以 zo 為圓心、半徑為 δ 的圓盤(稱為 zo 的鄰域)內，且函數接近 f(zo) 的值。

三、解析性

建立了復變函數的連續性概念后，我們就可以深入研究復變函數的微分了。在討論復變函數微分的過程中，我們會發現這類函數需要滿足一個重要的標準，即考奇-黎曼方程(Cauchy-Riemann equations)。如果類比一下，我們就會知道，要使實變函數的導數在給定點上有限存在，該函數在該點上應該是連續的。復變函數的類似標準是考奇-黎曼方程。我們很快就會在下面的討論中看到證明。

實變量的復值函數很容易微分，即 f'(x)=u'(x)+iv'(x)，其中 f(x) 是實變量 x 的復值函數。這并沒有什么新奇之處。

四、了解更多

我們知道，復變量 z 本身實際上是兩個實變量 x 和 y 的一對。我們將 z 畫成復平面上的一個點，并用有序對 (x,y) 表示 z=x+iy。因此，這就帶來了一個問題，即如何從復變函數微分復值函數。正如我們所預料的，導數的定義類似于實數微積分：

因此，第一個挑戰就是如何使 δz 變小。在復平面上，我們可以從多個方向實現這一目標。從定義中可以看出，函數的導數在取極限時不能改變。否則，每次切換極限都會得到新的導數。事實上，我們正在做的事情是，研究當我們取 δz?0 時，或者換句話說，取 δx?0 和 δy?0 時，函數 f(z) 是如何變化的。從本質上講，我們的導數不能因為改變取極限的順序而改變。而改變取極限的順序并不總能保證數值不變（每個數學家都能編出一個函數來證明這個命題！）。因此，可微分性在復數世界中是一個非同小可的屬性。

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