泛函分析是數學中的一門深入領域，涉及許多抽象的概念、定義和定理。這些概念可能與初學者在其他數學分支中接觸到的內容有所不同，可能需要一些時間來適應。這篇文章為大家帶來杜克大學數學專業泛函分析高級講解。

泛函分析

現代數學分析的一個部分，其基本目的是研究函數 y=f(x)，其中至少有一個變量 x 或 y 在無限維空間上變化。在其最一般的形式下，這樣的研究分為三個部分：1) 作為獨立對象的無限維空間的引入和研究;2) 研究最簡單的函數，即當 x 取值于無限維空間，y 取值于一維空間時(這些稱為泛函，因此得名 "泛函分析" );以及 3) 研究所指示類型的一般函數 —— 運算符(參見運算符)。線性函數 X∋x?f(x)=y∈Y，即線性算子，得到了最全面的研究。它們的理論本質上是線性代數推廣到無限維情況。泛函分析方法特點是將經典分析和代數的方法相結合，從而導致了乍看之下非常疏遠的數學分支之間的關系。

泛函分析作為一個獨立的數學學科始于19世紀末，并在20世紀20年代和30年代得以確立，一方面受特定類別的線性算子研究的影響 —— 與它們相關的積分算子和積分方程 —— 另一方面受現代數學純粹內在發展的影響，其目標是推廣并澄清某些正則行為的真實本質。量子力學也對泛函分析的發展產生了巨大影響，因為其基本概念，例如能量，被證明是無限維空間上的線性算子(物理學家起初將其相當寬松地解釋為無限維矩陣)。

**空間的概念**

拓撲向量空間(參見拓撲向量空間)是泛函分析中出現的最一般的空間。這些是定義在復數域C(或其他域，例如實數域R)上的向量(線性)空間X，同時它們也是拓撲空間，并且線性結構和拓撲在以下意義上是兼容的：線性運算在所考慮的拓撲下是連續的。特別地，如果X是度量空間，那么就得到了一個度量向量空間。

更具體但非常重要的情況是，在向量空間X中引入了矢量x∈X的范數 ∥x∥(長度)的概念，這是公理化引入的。帶有范數的向量空間稱為賦范空間。它是可度量的。通過公式：ρ(x,y)=∥x−y∥ 引入度量ρ。帶有范數的向量空間稱為Banach空間，如果它對所指示的度量是完備的。

在許多問題中，情況是這樣的，可以為向量空間X中的任意兩個向量引入內積(x,y)，使得該乘積推廣了三維空間中的標準數量積。帶有內積的空間稱為預希爾伯特空間;它是賦范空間的特例。如果這個空間是完備的，則稱為希爾伯特空間。

泛函分析研究了無限維空間，即存在無限個線性獨立向量的空間。

從幾何角度看，最簡單的空間是希爾伯特空間X=H，其性質大部分類似于有限維空間，因為可以通過內積引入類似于兩個向量之間夾角的概念。特別地，對于H中的兩個向量x,y，如果(x,y)=0，則稱它們正交(x⊥y)。在H中成立以下結果：設G是H的子空間，那么任意向量x∈H都有一個投影xG到G上，即一個向量xG∈G，使得x−xG與G中的任意向量正交。由于這個事實，許多在有限維空間中成立的幾何構造可以遷移到希爾伯特空間，而它們常常具有解析特性。

從希爾伯特空間過渡到Banach空間時，幾何問題變得更加復雜，而在一般拓撲向量空間中尤其如此，因為在其中正交投影無意義。例如，在空間lp(p≥1)中，向量en=(0,…,0,1,0,0,…)構成了一組基，對于lp中的每個向量x，“逐坐標”展開成立。

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