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埃塞克斯大學伽羅瓦理論輔導

作者：海馬發布時間：2023-10-23 12:32:02

也許你聽說過Évariste Galois嗎?(發音為“GAL-wah”)。今天我們將俯瞰他在數學領域最著名的貢獻：恰如其名的Galois理論。 Galois theory

一、

如果你是即將學習Galois理論的學生，希望下面的信息能為你的主課程提供一點前菜。在下面的“從英語到數學”部分，我們將簡要介紹標準研究生課程中出現的思想，這樣當你開始做練習時，至少能有一個鳥瞰全貌的了解。

二、

即使你不打算學習Galois理論，只是出于好奇，這篇文章也適合你!這里的信息應該對具有至少本科抽象代數背景的任何人都是可訪問的。我將略去很多技術細節(但你不介意，對吧?)因為我在這里的目標只是傳達一些主要思想。希望這能激起你進一步學習的興趣。

總之，Galois理論揭示了群的結構與域的結構之間的關系。然后利用這種關系來描述多項式的根是如何相互關聯的。

更具體地說，我們從一個多項式 f(x)開始。它的根存在于一個域中(稱為 f(x)的分裂域)。這些根展示出一種對稱性，通過讓某個特定的群(稱為 f(x)的Galois群)對它們進行操作來看到。我們可以通過Galois基本定理從域的結構和反之亦然收集關于群的結構的信息：

現在，為什么有人會關心排列多項式的根呢?這有什么好處?嗯，二次方程的公式在Galois出現之前就是眾所周知的(實際上可以追溯到巴比倫人)。因此，自然地，數學家們想知道，“是否存在類似的公式，適用于更高次的多項式?”換句話說，是否可以將n次多項式的根寫成多項式系數的某種代數組合(加、減、乘、除、開方)?事實證明，當n≤4時，答案是“是”，但對于任何n≥5，答案是“否”。

正是Galois對多項式根的排列群的研究導致了他發現尋找這種公式的必要和充分條件的發現。這個條件(數學家們尋找了300多年!)在將問題從域論的語言轉化為群論的語言時變得非常明確。Galois理論就是實現這一點的字典。

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