在18世紀，丹尼爾·伯努利對流體運動中的力進行了研究。這個方程出現在很多物理學、流體力學和飛機設計的教科書中。該方程表明，流體中的靜壓力ps加上動壓力(即密度ρ的一半乘以速度V的平方)等于整個流體中的一個常數。我們稱這個常數為總壓力pt。

在流體屬性頁面所討論的，我們可以從兩個角度來看待流體：一是從我們能夠測量的流體的宏觀特性，二是從分子運動和相互作用的微觀尺度。在這一頁中，我們將從這兩個角度來考慮伯努利方程。

一、宏觀尺度推導

熱力學是描述流體宏觀特性的科學分支。在熱力學的研究中，能量守恒是一個主要成果;在一個系統內，能量既不會被創造也不會被破壞，而是可以從一種形式轉換為另一種形式。我們將從能量守恒方程出發推導伯努利方程。在納維-斯托克斯方程頁面上給出了能量守恒的最一般形式。該公式考慮了非定常流動和粘性相互作用的影響。假設穩定的無粘流，我們有一個以流體的焓表示的簡化能量守恒方程：

ht2 - ht1 = q - wsh

其中ht是流體的總焓，q是傳遞到流體中的熱量，wsh是流體所做的有用功。

假設沒有熱量傳遞到流體中，并且流體沒有做功，那么：

ht2 = ht1

由總焓的定義可知：

e2 + (p * v)2 + (.5 * V^2)2 = e1 + (p * v)1 + (.5 * V^2)1

其中e是內能，p是壓力，v是比容，V是流體的速度。根據熱力學第一定律，如果沒有做功，也沒有傳熱，內能保持不變：

(p * v)2 + (.5 * V^2)2 = (p * v)1 + (.5 * V^2)1

比容是流體密度r 的倒數：

(p / r)2 + (.5 * V^2)2 = (p / r)1 + (.5 * V^2)1

假設流動不可壓縮，密度為常數。將能量方程乘以常數密度：

(ps)2 + (.5 * r * V^2)2 = (ps)1 + (.5 * r * V^2)1 = 常數 = pt

這是伯努利方程最簡單的形式，也是教科書中最常引用的形式。如果我們在推導時做出不同的假設，我們可以推導出方程的其他形式。

應用任何方程時，了解其使用限制非常重要;當對問題的性質做出某些簡化假設時，方程的推導過程中通常會出現限制。如果您忽略這些限制，您可能經常會從方程式中得到不正確的“答案”。例如，這種形式的方程是在假設流動不可壓縮的情況下推導出來的，這意味著流動的速度遠小于聲速。如果您將此形式用于超音速流動，則答案將是錯誤的。如果你想知道如何使用伯努利方程，那么你可以使用HighMark的課程輔導服務。

二、分子尺度推導

我們可以通過考慮氣體分子的運動來對方程進行另一種解釋。流體中的分子在不斷的隨機運動中，并相互碰撞以及與流體中物體的墻壁碰撞。分子的運動給予了它們線性動量，而流體壓力則是這種動量的一種度量。如果氣體靜止，分子的所有運動都是隨機的，我們檢測到的壓力是氣體的總壓力。如果氣體被設置成運動或流動，一些隨機速度分量會改變為有向運動。我們稱這種有向運動為“有序”，與無序的隨機運動相對。

我們可以將一個“壓力”與氣體有序運動的動量聯系起來。我們將這種壓力稱為動壓力。分子剩余的隨機運動仍會產生一個稱為靜壓力的壓力。在分子層面上，隨機和有序運動之間沒有區別。每個分子都有某個方向的速度，直到它與另一個分子碰撞并改變速度。但是當你將所有分子的所有速度相加時，你會檢測到有序運動。根據能量和動量守恒定律，靜壓力加上動壓力等于流動中的原始總壓力(假設我們不在流動中添加或減少能量)。動壓力的形式是密度乘以速度的平方再除以二。

三、伯努利方程的應用

在低速氣流翼型上，流動是不可壓縮的，密度保持不變。然后，伯努利方程簡化為速度和靜壓力之間的簡單關系。翼型表面是一條流線。由于速度沿流線變化，可以使用伯努利方程計算壓力的變化。翼型表面上整合的靜壓力給出了翼型的總氣動力。這個力可以分解為翼型的升力和阻力。

伯努利方程還用于飛機上提供一個稱為皮托管的速度計。用機械設備測量壓力相當容易。在皮托管中，我們測量靜壓和總壓，然后可以使用伯努利方程計算速度。

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