課程輔導內容

測度理論 MAST90012

介紹了現代分析的概念框架，這一框架導致了對基本對象(如函數)以及諸如連續性、可微性和可積性等概念的轉變和推廣。

它是許多數學和概率領域的基礎，并在物理學和經濟學等其他領域也有應用。學生將接觸到勒貝格積分理論的核心主題，以及抽象測度理論，特別是帶符號的測度、哈恩-約旦分解、拉東-尼科迪姆導數。附加主題可能包括概率論的基本知識(條件期望、博雷爾集合和測度)以及幾何分析(可整曲線、豪斯多夫測度和維度)。

微分拓撲 MAST90029

這門課程擴展了微積分和線性代數的方法，用于研究高維空間的拓撲。這些引入的概念在數學、物理學和工程學中具有重要意義。本課程將涵蓋流形的微分拓撲的基本材料。主題包括：光滑流形、切空間、反函數定理和隱函數定理;微分形式、流形上的積分和 de Rham 上同調;沉浸和纖維束;浸入和橫截性;來自李群和同質空間的例子。附加主題可能包括：Morse 理論;交點理論;特征類和 Chern-Weil 理論;Thom 同構;邊界理論。

科學計算的藝術 COMP90072

物理學、社會科學和工程科學廣泛使用數值模擬和圖形表示，將其理論基礎與實驗或實證數據連接起來。這些方法通常由沒有正式計算訓練的研究人員設計和實施，他們從各種來源獲得所需的技能。組裝計算工具以實現目標并有效利用可用計算資源是一門藝術。

本課程向學生介紹了在研究應用中設計和構建計算工具時常見的一系列技能：

將任務表述為一系列操作或過程，這些操作或過程以適合數字計算的形式表達分配問題的背景(例如Mathematica)。

使用適合數值密集型計算的計算機語言實現這一表述(例如C、C++、Fortran)。

將計算密集型任務模塊化，無論是作為用戶編寫的過程還是現有庫(例如BLAS、lapack)。

用文檔記錄代碼，解釋其設計、操作和局限性(例如LaTeX)。

對代碼進行儀器化，以驗證其正確操作并監控其性能(例如gprof)。

優化代碼，包括使用并行化(例如OpenMPI)。

使用圖形包或渲染引擎(例如Geomview、OpenGL)對數據進行可視化。

通過圖形用戶界面(例如Python、Matlab)與代碼進行交互。

這些技能通過完成一個短期項目向學生介紹，該項目將在與課程協調員協商后進行選擇。

表示論 MAST90017

對稱性在數學中表現為群的形式，而表示論則是通過群對向量空間的作用來研究群的學科。它在許多領域中都有重要應用：物理學、化學、經濟學、生物學等。本課程將提供研究向量空間上作用的基本工具。課程將重點教授表示論的基礎知識，使用一些經典例子：對稱群、圖代數、矩陣群、反射群。在每種情況下，將分析該群(或代數)的不可約特征和不可約模，隨著課程的深入，逐步發展出更強大的工具。課程的核心內容包括SL2、循環群和二面體群、圖代數(如Temperley-Lieb代數)、對稱群和Hecke代數、Brauer和BMW代數、緊李群等。研究中將涉及的工具和動機包括特征與特征公式、歸納、限制與張量積，以及與統計力學、數學物理和幾何學的聯系。如果時間允許，可能還會涉及一些關于環群、仿射李代數和Dynkin圖的內容。

代數拓撲 MAST90023

這門課程研究拓撲空間及其之間的連續映射。它展示了拓撲方法在處理涉及物體形狀和位置以及連續映射的問題中的強大能力，并說明了拓撲如何應用于許多領域，包括幾何、分析、群論和物理學。其目的是通過引入與空間和連續映射相關的代數不變量，將拓撲中的問題簡化為代數中的問題。研究的重要空間類包括流形(局部歐幾里得空間)和CW復形(通過將不同維度的單元膠合在一起構建而成)。課程內容包括：映射的同倫及空間的同倫等價、空間的同倫群、基本群、覆蓋空間;同調理論，包括奇異同調理論、Eilenberg和Steenrod的公理化方法以及細胞同調。

函數分析 MAST90020

泛函分析是純數學的一個基礎領域，在微分方程理論、工程學和物理學中有著無數的應用。學生將接觸到Banach空間理論、對偶空間概念、弱-拓撲*、Hahn-Banach定理、選擇公理和Zorn引理、Krein-Milman定理、Hilbert空間上的算子、緊致拓撲群的Peter-Weyl定理、無限維正規算子的譜定理以及與調和分析的聯系。

以上就是關于“墨爾本大學數學碩士課程輔導”的介紹，海馬課堂針對學生的薄弱科目和學校教學進度，匹配背景相符的導師，根據學生情況進行1V1專屬備課，上課時間靈活安排，中英雙語詳細講解課程中的考點、 難點問題，并提供多方位的課后輔導，輔助學生掌握全部課程知識，補足短板。