拓?fù)鋵W(xué)研究空間的屬性，這些屬性在任何連續(xù)變形下都是不變的。它有時(shí)被稱為 "橡膠板幾何"，因?yàn)槲矬w可以像橡膠一樣被拉伸和收縮，但不能被打破。例如，一個(gè)正方形可以在不破壞它的情況下變形為一個(gè)圓，但一個(gè)8字形卻不能。因此，正方形在拓?fù)鋵W(xué)上等同于圓，但與8字形不同。

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拓?fù)鋵W(xué)是一個(gè)相對(duì)較新的數(shù)學(xué)分支;拓?fù)鋵W(xué)的大部分研究都是在1900年以后完成的。以下是拓?fù)鋵W(xué)的一些分支領(lǐng)域。

1.一般拓?fù)鋵W(xué)或點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)。

一般拓?fù)鋵W(xué)通常考慮空間的局部屬性，并與分析密切相關(guān)。它概括了連續(xù)性的概念來(lái)定義拓?fù)淇臻g，在這些空間中可以考慮序列的極限。有時(shí)距離可以在這些空間中定義，在這種情況下，它們被稱為公制空間;有時(shí)沒(méi)有距離的概念是有意義的。

2.組合拓?fù)鋵W(xué)。

組合拓?fù)鋵W(xué)考慮空間的全局屬性，由頂點(diǎn)、邊和面的網(wǎng)絡(luò)建立起來(lái)。這是拓?fù)鋵W(xué)最古老的分支，可以追溯到歐拉。已經(jīng)證明，拓?fù)鋵W(xué)上的等價(jià)空間具有相同的數(shù)字不變性，我們現(xiàn)在稱之為歐拉特征。這是一個(gè)數(shù)字(V-E+F)，其中V、E和F是一個(gè)物體的頂點(diǎn)、邊和面的數(shù)量。例如，四面體和立方體在拓?fù)鋵W(xué)上等同于球體，球體的任何 "三角化 "都有2的歐拉特征。

3.代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)。

代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)也考慮空間的全局屬性，并使用群和環(huán)等代數(shù)對(duì)象來(lái)回答拓?fù)鋵W(xué)問(wèn)題。代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)將一個(gè)拓?fù)鋵W(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，希望能更容易解決。例如，一個(gè)被稱為同源組的群組可以與每個(gè)空間相關(guān)聯(lián)，環(huán)和克萊因瓶可以被區(qū)分開(kāi)來(lái)，因?yàn)樗鼈冇胁煌耐唇M。

4.微分拓?fù)鋵W(xué)。

微分拓?fù)鋵W(xué)考慮的是具有某種與每一點(diǎn)相關(guān)的平滑性的空間。在這種情況下，正方形和圓形不會(huì)彼此平滑地(或微分地)等同。微分拓?fù)鋵W(xué)對(duì)于研究矢量場(chǎng)的屬性很有幫助，例如磁場(chǎng)或電場(chǎng)。

拓?fù)鋵W(xué)被用于許多數(shù)學(xué)分支，如可微分方程、動(dòng)力系統(tǒng)、結(jié)理論和復(fù)雜分析中的黎曼面。它也被用于物理學(xué)中的弦理論，以及描述宇宙的時(shí)空結(jié)構(gòu)。

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