多變量微積分課程涵蓋了向量和多元微積分。在麻省理工學院，它標記為18.02，是麻省理工學院新生微積分課程的第二學期。課程內容包括向量和矩陣、參數曲線、偏導數、二重和三重積分，以及在二維和三維空間中的向量微積分。

正如其名稱所示，多元微積分是微積分的擴展，涉及到多于一個自變量的情況。也就是說，在單變量微積分中，你研究的是一個獨立自變量的函數：

y=f(x)。

在多元微積分中，我們研究兩個或更多獨立自變量的函數，例如：

z=f(x, y)或w=f(x, y, z)。

這些函數本身就具有趣味性，但它們也是描述物理世界的重要工具。

許多事物都依賴于不止一個獨立自變量。以下是一些例子：

·在熱力學中，壓力取決于體積和溫度。

·在電學和磁學中，磁場和電場是三個空間變量(x、y、z)和一個時間變量t的函數。

·在經濟學中，函數可以依賴于大量獨立自變量，例如，制造商的成本可能取決于27種不同商品的價格。

·在建模流體或熱流動時，速度場依賴于位置和時間。

單變量微積分是一個高度幾何的學科，多元微積分也是如此，甚至可能更加如此。在你的微積分課程中，你學習了函數y=f(x)的圖形，并學會了將導數和積分與這些圖形聯系起來。在這門課程中，我們也將研究圖形并將它們與導數和積分聯系起來。一個關鍵的區別是，更多的變量意味著更多的幾何維度。這使得圖形的可視化既更加困難，也更有價值和有用。

在課程結束時，你將知道如何對多個變量的函數進行微分和積分。在單變量微積分中，微積分基本定理將導數與積分聯系起來。在多元微積分中，我們也會看到類似的情況，而課程的頂點將是三個定理(格林、斯托克斯和高斯定理)。

課程目標

完成這門課程后，學生應該已經形成了多元微積分的基本概念的清晰理解，并具備一系列能夠使他們有效地應用這些概念的技能。

基本概念包括：

·導數作為變化率，通過極限比率計算

·積分作為“和”，通過黎曼和的極限計算

技能包括：

·熟練掌握向量運算，包括向量證明以及在各種描述幾何性質的方式之間自如轉換，即圖形、文字、向量表示和坐標表示。

·熟練掌握矩陣代數，包括將線性方程系統轉化為矩陣格式并使用矩陣乘法和矩陣逆解決它們的能力。

·對參數曲線的理解，將其視為由位置向量描述的軌跡;能夠找到曲線的參數方程并計算其速度和加速度向量。

·對梯度的全面理解，包括與等高線(或曲面)、方向導數和線性近似的關系。

·使用鏈式法則或全微分法計算導數的能力。

·能夠設置和解決涉及多個變量的優化問題，無論是否有約束條件。

·對工作和通量的線積分、通量的面積積分、通用面積積分和體積積分的理解。同時，了解這些積分的物理解釋。

·能夠在直角、極坐標、柱坐標和球坐標中設置和計算多重積分。

·能夠在多重積分中更換變量。

·對課程中的主要定理(格林、斯托克斯、高斯)以及這些定理的一些物理應用的理解。

課程結構

這門為獨立學習設計的課程已經組織成按照麻省理工學院多元微積分課程中涵蓋的主題順序進行的。課程內容分為四個主要單元：

1.向量和矩陣

2.偏導數

3.平面內的二重積分和線積分

4.三維空間中的三重積分和曲面積分

每個單元都進一步劃分為不同的部分(A、B、C等)，每個部分包含一系列課程。由于每個課程都建立在以前課程的知識基礎上，按順序進行課程進度非常重要。每個課程涵蓋了你可能在一次學習中完成的內容。

在每個單元內，你將在戰略性的點上收到一組問題，以便測試你對材料的理解。每個單元結束時，都會有一個綜合考試，涵蓋了你在該單元中學到的所有主題。

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