要討論現(xiàn)代技術(shù)，我們首先必須對(duì)支撐這些模型的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)有扎實(shí)的了解。其中一個(gè)關(guān)鍵的現(xiàn)代領(lǐng)域就是貝葉斯統(tǒng)計(jì)。這篇文章可以幫助大家了解貝葉斯方法的 "哲學(xué)"、它與傳統(tǒng)/經(jīng)典常模統(tǒng)計(jì)方法的比較以及在量化金融和數(shù)據(jù)科學(xué)中的潛在應(yīng)用。

一、什么是貝葉斯統(tǒng)計(jì)?

貝葉斯統(tǒng)計(jì)是將概率應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)問題的一種特殊方法。它為我們提供了數(shù)學(xué)工具，讓我們?cè)诳吹接嘘P(guān)隨機(jī)事件的新數(shù)據(jù)或證據(jù)時(shí)更新我們對(duì)這些事件的信念。

具體來說，貝葉斯推理將概率解釋為個(gè)人對(duì)特定事件發(fā)生的可信度或信心度量。

我們可能對(duì)某一事件有先驗(yàn)的信念，但當(dāng)新的證據(jù)出現(xiàn)時(shí)，我們的信念很可能會(huì)改變。貝葉斯統(tǒng)計(jì)法為我們提供了一種堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)手段，將我們的先驗(yàn)信念和證據(jù)結(jié)合起來，從而產(chǎn)生新的后驗(yàn)信念。

貝葉斯統(tǒng)計(jì)為我們提供了數(shù)學(xué)工具，使我們能夠根據(jù)新的數(shù)據(jù)或證據(jù)，理性地更新我們的主觀信念。

這與另一種形式的統(tǒng)計(jì)推斷形成鮮明對(duì)比，后者被稱為經(jīng)典或頻繁主義統(tǒng)計(jì)，它假定概率是特定隨機(jī)事件在長(zhǎng)期重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生的頻率。

二、推導(dǎo)貝葉斯法則

假設(shè)我們有兩個(gè)事件 A 和 B，其中 A 表示某個(gè)假設(shè)或條件，B 表示一些新的觀察到的證據(jù)。

1. 事件的聯(lián)合概率：

- 聯(lián)合概率 P(A ∩ B) 表示同時(shí)發(fā)生事件 A 和事件 B 的概率。

2. 條件概率：

- 條件概率 P(A|B) 表示在已知事件 B 發(fā)生的條件下，事件 A 發(fā)生的概率。

3. 貝葉斯定理表述：

根據(jù)概率的定義，我們有：

P(A ∩ B) = P(A|B) * P(B) (1)

同時(shí)，我們也有：

P(B ∩ A) = P(B|A) * P(A) (2)

因?yàn)?P(A ∩ B) = P(B ∩ A)，所以我們可以將 (1) 和 (2) 相等：

P(A|B) * P(B) = P(B|A) * P(A)

然后，我們可以解出 P(A|B)：

P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)

這就是貝葉斯定理的表述。現(xiàn)在，讓我們解釋一下其中的術(shù)語：

- P(A|B)：后驗(yàn)概率，表示在觀察到事件 B 后，事件 A 發(fā)生的概率。

- P(B|A)：似然，表示在事件 A 發(fā)生的條件下，觀察到事件 B 的概率。

- P(A)：先驗(yàn)概率，表示在沒有任何觀察之前事件 A 發(fā)生的概率。

- P(B)：標(biāo)準(zhǔn)化常數(shù)，表示觀察到事件 B 的概率。

貝葉斯定理的關(guān)鍵是將先驗(yàn)信息(P(A))和新觀察到的證據(jù)(P(B|A))結(jié)合起來，得出更新后的后驗(yàn)概率(P(A|B))。這使我們能夠在已有信息的基礎(chǔ)上進(jìn)行更準(zhǔn)確的概率估計(jì)，適用于許多問題，如分類、預(yù)測(cè)和參數(shù)估計(jì)。

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