常微分方程包含未知函數的導數。常微分方程是一個包含變量和因變量對自變量的導數的方程。常微分方程分為均質微分方程和非均質微分方程兩種。

讓我們進一步了解常微分方程以及求階、求度和求解的過程。

一、什么是常微分方程?

常微分方程(ODE)是具有常導數(而非偏導數)的方程。微分方程是包含變量和因變量對自變量的導數的方程。微分方程至少包含一個未知函數的導數，可以是常導數，也可以是偏導數。其中，常微分方程具有常導數。在這里，常微分方程通常只被稱為微分方程。

這些常微分方程中導數的符號為 dy/dx = y''、d2y/dx2 = y'''、d3y/dx3 = y'''、dny/dxn = yn。下面是一些常微分方程的例子。

• (dy/dx) = sin x
• (d²y/dx²) + k²y = 0
• (d²y/dt²) + (d²x/dt²) = x
• (d³y/dx³) + x(dy/dx) - 4xy = 0
• (rdr/dθ) + cosθ = 5

二、常微分方程的階和度

常微分方程的兩個重要方面是微分方程的階和度。讓我們分別詳細了解一下。

常微分方程的階數

微分方程的階數是因變量相對于自變量的最高導數的階數。考慮以下微分方程：dy/dx = ex、(d4y/dx4) + y = 0、(d3y/dx3) + x2(d2y/dx2) = 0。在這些微分方程中，最高導數分別為一階、四階和三階，因此它們的階數分別為 1、4 和 3。

一階微分方程：它是階數等于 1 的一階微分方程。所有導數形式的線性方程都是一階的。它只有一階導數，如 dy/dx，其中 x 和 y 是兩個變量，表示為：dy/dx = f(x, y) = y'

二階微分方程：包含二階導數的方程為二階微分方程。它表示為：d/dx(dy/dx) = d2y/dx2 = f"(x) = y"。

三、常微分方程的階數

如果微分方程可以用多項式形式表示，那么出現的最高階導數的積分冪稱為微分方程的階數。微分方程的階數是方程中出現的最高階導數的冪。要求得微分方程的階數，我們需要用一個正整數作為每個導數的索引。例題

(d4ydx4)3+4(dydx)7+6y=5cos3x

這里微分方程的階數是 4，度數是 3。微分方程的階數和度數總是正整數。此外，如果一個微分方程不能用以最高階導數為前導項的多項式方程來表示，那么該微分方程的階就沒有定義。

四、常微分方程的類型

常微分方程大致分為均質微分方程和非均質微分方程。讓我們進一步了解這兩種微分方程。

均質微分方程

所有項的度數相同的微分方程稱為均質微分方程。一般來說，它們可以表示為 P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0，其中 P(x,y) 和 Q(x,y) 是階數相同的同次函數。下面是一些同階微分方程的例子。

• y + x(dy/dx) = 0 
• x⁴ + y⁴(dy/dx) = 0