復(fù)數(shù)分析是數(shù)學(xué)的經(jīng)典分支之一，主要分析復(fù)數(shù)及其函數(shù)、極限、導(dǎo)數(shù)、操作和其他數(shù)學(xué)性質(zhì)。復(fù)數(shù)分析是一種強(qiáng)有力的工具，在解決物理問題方面有著突飛猛進(jìn)的實(shí)際應(yīng)用。美國碩士聽不懂課程怎么辦?讓我們?cè)诖酥鹨涣私鈴?fù)數(shù)分析的各個(gè)組成部分。

一、復(fù)數(shù)

形式為 x + iy，其中 x、y 為實(shí)數(shù)，且 i² = -1，被稱為復(fù)數(shù)。

換句話說，z = x + iy 是一個(gè)復(fù)數(shù)，其中 z 的實(shí)部為 x，表示為 Re(z)，虛部為 iy，表示為 I(z)。

二、復(fù)數(shù)的模和幅角

復(fù)數(shù) z = x + iy 的模是實(shí)數(shù) √(x² + y²)，表示為 |z|。

復(fù)數(shù) z = x + iy 的幅角或參數(shù)由以下公式給出：

arg(z) = θ = tan?¹(y/x)，其中 x、y ≠ 0。

同時(shí)，當(dāng) arg(z) 滿足不等式 -π < θ ≤ π 時(shí)，arg(z) 稱為主要參數(shù)，表示為 Arg(z)。

三、復(fù)雜函數(shù)

在復(fù)分析中，復(fù)雜函數(shù)是從復(fù)數(shù)到復(fù)數(shù)的函數(shù)。或者，它是一個(gè)將復(fù)數(shù)的子集作為定義域，復(fù)數(shù)作為值域的函數(shù)。數(shù)學(xué)上，我們可以將復(fù)雜函數(shù)的定義表示為：

一個(gè)函數(shù) f : C → C 被稱為一個(gè)復(fù)雜函數(shù)，可以寫成

w = f(z)，其中 z ∈ C，w ∈ Z。

同時(shí)，z = x + iy，w = u + iv，其中 u = u(x, y)，v = v(x, y)。這意味著 u 和 v 是 x 和 y 的函數(shù)。

四、復(fù)雜函數(shù)的極限

假設(shè) w = f(z) 是 z 的任何函數(shù)，在有界閉區(qū)域 D 中定義。那么隨著 z 接近 z0，f(z) 的極限用 “l” 表示，寫作

lim z→z0 f(z) = l，

即對(duì)于每個(gè) ? > 0，存在 δ > 0，使得當(dāng) |z - z0| < δ 時(shí)，|f(z) - l| < ?，其中 ? 和 δ 是任意小的正實(shí)數(shù)。這里，l 是 f(z) 在 z → z0 時(shí)的極限。

五、復(fù)雜函數(shù)的連續(xù)性

讓我們了解復(fù)分析中的復(fù)雜函數(shù)連續(xù)性是什么。

一個(gè)在有界閉區(qū)域 D 中定義的復(fù)雜函數(shù) w = f(z)，在點(diǎn) Z0 處連續(xù)，如果 f(z0) 被定義

lim z→z0 f(z) 存在且

lim z→z0 f(z) = f(z0)。

六、復(fù)雜微分

復(fù)雜微分的一些標(biāo)準(zhǔn)結(jié)果列于下文：

dc/dz = 0;這里 c 是復(fù)常數(shù)

d/dz (f ± g) = (df/dz) ± (dg/dz)

d/dz [c.f(z)] = c . (df/dz)

d/dz zn = nzn-1

d/dz (f.g) = f (dg/dz) + g (df/dz)

d/dz (f/g) = [g (df/dz) - f (dg/dz)]/ g²

所有這些公式都用于解決復(fù)分析中的各種問題。

七、解析函數(shù)

如果一個(gè)函數(shù) f(z) 在點(diǎn) z0 處不僅在 z 處可導(dǎo)，而且在 z0 的某個(gè)鄰域中的每一點(diǎn)也可導(dǎo)，則稱函數(shù) f(z) 在點(diǎn) z0 處是解析的。解析函數(shù)也稱為正則、全純或單基函數(shù)。

八、諧函數(shù)

如果函數(shù) u(x, y) 滿足拉普拉斯方程，則稱其為諧函數(shù)。另外，分析函數(shù)的實(shí)部和虛部也是諧函數(shù)。

九、復(fù)積分

假設(shè) f(z) 是在域 D 中定義的復(fù)變量函數(shù)，而 "c" 是域 D 中的閉合曲線。

這里，z = x + iy

f(z) = u + iv，而 dz = dx + i dy

∫c f(z) dz = ∫c (u + iv) dz

= ∫c (u + iv) (dx + idy)

= ∫c (udx - vdy) +i ∫c (udy + vdx)

這里，∫c f(z) dz 稱為曲線積分。

十、柯西積分定理

如果 f(z) 在一個(gè)單連通區(qū)域 R 中是解析函數(shù)，則對(duì)于包含在 R 中的每個(gè)閉合輪廓 c，有 ∫c f(z) dz = 0。

逆命題：

如果函數(shù) f(z) 在整個(gè)簡(jiǎn)單連通區(qū)域 D 中連續(xù)，并且對(duì)于 D 中的每個(gè)閉合輪廓 c 都有 ∫c f

(z) dz = 0，則 f(z) 在 D 中是解析的。

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