常常有這樣的情況，我們希望知道一個函數的定積分，但是這個函數沒有解析反導數。然而，有一種方法可以通過將函數分成小區間并近似計算面積來近似計算積分。一種常見的教授方法是黎曼和，其中使用矩形來近似計算定積分。有些函數對這樣的方法近似計算積分效果不好，誤差很大。這種情況出現在函數具有大變化區域和小變化區域的時候。如果使用簡單均勻間隔的區間進行數值近似，誤差將是相當大的。一個例子是使用大間隔的簡單黎曼和;這將產生代表不符合預期面積的大面積。

我們使用所謂的自適應積分法，這種技術嘗試預測函數變化的程度，并相應地改變步長。自適應積分法的近似不僅高效，而且還在指定的誤差容限范圍內。自適應積分不僅減少了誤差，還允許我們在不依賴于函數更高階導數知識的情況下預測誤差估計。雖然不是沒有誤差，但自適應積分為我們提供了一種方法，用以比其他方法更準確地數值近似函數的定積分，甚至是所謂的行為不良函數。行為不良函數沒有導數可以導出容易估計的區域。相反，函數可以被微分的次數越多，它的行為就越良好。還應注意，這種自適應方法在估計所謂的行為良好函數時與其非自適應對應方法一樣有效。

一、什么是數值積分?

在數值分析中，數值積分涉及一系列用于計算定積分數值的算法，此外，這個術語有時也用于描述微分方程的數值解法。數值積分所考慮的基本問題是計算定積分的近似解。它與解析積分不同，有兩個方面的不同：首先，它是一個近似值，不會得出精確答案;誤差分析是數值積分中非常重要的一個方面。其次，它不會產生一個基本函數，可以用來確定任意邊界下的面積;它只會產生一個表示面積近似值的數值。

二、數值積分的背景

數值積分的起源可以追溯到古代。一個典型的例子是通過內接和外接正多邊形來進行圓的希臘求面積法。這個過程導致了阿基米德對π的一個上界和下界。由于缺乏形式化的微積分，這些方法被廣泛使用。無限小區間的總和方法在十六世紀之前是未知的，當牛頓將我們現在稱之為微積分的概念正式化時，這個方法是無法實現的。數值積分的早期形式類似于希臘方法，將正多邊形內切到曲線函數中。這個過程可以分解為取一個已知區域，將其與一個未知區域重疊以近似計算未知形狀的面積。通過選擇更合適的形狀，可以提高準確性。后來的方法決定在估計曲線下的面積時改進，決定使用更多面積更小的正多邊形。這種方法的一個例子是使用矩形來估計曲線下的面積，而不是使用矩形來更好地適應函數的曲率。今天，數值積分的最佳方法被稱為具有非常小誤差的積分法。

三、數值積分的要素

如果f(x)是一個平滑良好的函數，在有限的維度上積分，并且積分的限制是有界的，那么有許多方法可以用任意精度來近似積分。我們考慮一個不定積分：

數值積分方法通常可以描述為將積分的評估結合起來，從而得到對積分的近似。積分在一個有限的點集(稱為積分點)上進行評估，然后使用這些值的加權和來近似積分。例如，如果我們使用矩形作為我們的形狀：

在這個例子中，定積分是通過矩形的面積來近似計算的。積分點和權重取決于所使用的具體方法以及近似所需的精度。任何數值積分方法分析的一個重要部分是研究近似誤差隨積分評估次數的函數行為。通常認為，對于少量評估次數產生小誤差的方法是優越的。減少積分評估次數減少了所涉及的算術運算次數，從而減少了總的舍入誤差。此外，每次評估都需要時間，而積分可能會任意復雜。需要注意的是，如果將分割數取為無限大，這將逼近表示曲線下面積的解析函數(在微積分中導出)。在實際操作中，我們不這樣做，因為無限數量的分割會需要極大的計算能力，而且很少需要達到完全精確。

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