人們通常只說(shuō)實(shí)函數(shù)，這時(shí)人們會(huì)理解我們指的是實(shí)變量的實(shí)函數(shù)。其他類型的實(shí)函數(shù)(比如復(fù)變量的實(shí)函數(shù))總是會(huì)被完整地明確指定。

對(duì)于數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，這種對(duì)實(shí)函數(shù)的定義是完全令人滿意的，因?yàn)樗幸阎成涞男再|(zhì)都可以輕松地轉(zhuǎn)化為函數(shù)的性質(zhì)。然而，對(duì)于數(shù)學(xué)的實(shí)際使用者來(lái)說(shuō)，這可能不太合適，因?yàn)槿藗兩踔量梢栽诓恢酪话阌成涞拇嬖诘那闆r下愉快高效地使用實(shí)函數(shù)，并且還可以使用較少的精確度。因此，我們將嘗試在不涉及映射的情況下解釋什么是實(shí)函數(shù)。

一、基本概念

實(shí)函數(shù)是一種指定參數(shù)值的規(guī)定。符號(hào) y = f(x) 表示對(duì)于參數(shù)值 x，函數(shù) f 分配了值 y。有時(shí)我們還使用符號(hào) f : x ? y，換句話說(shuō)，函數(shù) f 將 x 映射到 y。最常用的指定這種分配方式的方法是通過(guò)某個(gè)公式，也就是說(shuō)，函數(shù)值 y 可以通過(guò)將 x 替換為一個(gè)特定的公式來(lái)獲得，該公式標(biāo)識(shí)了給定的函數(shù)。例如，函數(shù) f(x) = 2x + 3 將參數(shù) x = -1 映射為 f(-1) = 2*(-1) + 3 = 1。一個(gè)非常特殊的情況是常數(shù)函數(shù)，例如定義 g(x) = 7.3 將每個(gè)參數(shù) x 映射到值 7.3;這對(duì)于初學(xué)者而言有時(shí)可能會(huì)讓人困惑，所以請(qǐng)將其視為一個(gè)警告，即可以將 x "代入" 7.3，結(jié)果就是 7.3(就像這樣：g(5) = 7.3)。

還有一種表達(dá)將某個(gè)具體數(shù)字代入函數(shù)的方法。它使用了稍微降低的豎線，過(guò)程如下：

這種符號(hào)在函數(shù)還沒有準(zhǔn)備好進(jìn)行代入操作，但我們想要進(jìn)行一些調(diào)整時(shí)特別方便。例如，

最好的可視化函數(shù)的方法是通過(guò)圖形，我們?cè)诙S平面(x，y)上標(biāo)記所有的對(duì)偶(x，f(x))。我們?cè)趫D片中指出了一個(gè)特定的對(duì)偶。

請(qǐng)注意，如果函數(shù)由一個(gè)公式給出，我們可能還對(duì)其代數(shù)結(jié)構(gòu)感興趣，這是另一種從獨(dú)立于圖形觀點(diǎn)的方式來(lái)看待它。詳細(xì)信息請(qǐng)參閱關(guān)于求值順序的說(shuō)明。

函數(shù)的定義域有時(shí)在函數(shù)定義時(shí)給出。更常見的情況是，實(shí)函數(shù)只是以規(guī)定、公式的形式給出，在這種情況下，我們將定義域視為所有可以代入函數(shù)的數(shù)字 x 的集合，也就是說(shuō)，對(duì)于那些使得定義函數(shù)的公式有意義的 x 值。通常用 D( f )、Df 或 dom( f ) 表示，這里我們將使用第一種符號(hào)。我們可以寫成

D( f ) = {x∈?;  f (x) makes sense}.

通常，定義域?qū)⑹且恍﹨^(qū)間的并集。

函數(shù)的值域是通過(guò)將來(lái)自定義域的參數(shù)代入函數(shù)獲得的所有值的集合。通常用 R( f )、Rf 或 ran( f ) 表示，這里我們將使用第一種符號(hào)。我們可以寫成

R( f ) = { f (x); x∈D( f )}.

有時(shí)只考慮給定函數(shù)在定義域的子集上的情況。這時(shí)我們稱函數(shù)被限制在了這個(gè)子集上，新函數(shù)被稱為限制。如果 M 是函數(shù) f 的定義域 D( f ) 的子集，那么 f 在集合 M 上的限制記作 f |M。

被限制的函數(shù)具有不同的定義域，也可能有不同的值域(雖然這并非必然，有時(shí)函數(shù)可以在我們限制的子集上覆蓋其所有值，并且只在被忽略的部分重復(fù)這些值)。

函數(shù)的性質(zhì)在很大程度上取決于它們的定義域，因此實(shí)際上我們必須始終將函數(shù)和它們的定義域視為一對(duì)。

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