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在傳統數學中，復數分析被稱為復變函數理論。它是數學分析中分析復數函數的分支。它對數學的多個分支都有幫助，包括數論、代數幾何、解析組合學和應用數學。在本文中，您將了解什么是復變函數，以及如何求解復變函數。這篇文章HighMark為大家帶來復變函數學習難點解析。
一、復變函數的定義
復變函數或復變函數是為復數賦復數的函數。假設 C 是復數集合。
函數 f : C → C 是一個規則，它與 z∈ C 相關聯，是唯一的 w∈ C，寫成 w = f(z)。在這里，
z = x + iy
w = u + iv, where u = u(x, y) and v = v(x, y)
因此，u 和 v 是 x 和 y 的函數。
w = f(z) = u(x, y) + i v(x, y)
此外，w 的實部和虛部的標準符號是 u 和 v，其中 u 和 v 是 x 和 y 的函數。請注意，這里，D 稱為函數 f 的定義域。復變函數，即 w = f(z)，通常表示為從復平面 z 到復平面 w 的映射或變換：
函數的圖形通常揭示了實變實值函數的性質。然而，對于函數 w = f(z)，其中 z 和 w 都是復數，卻沒有合適的圖形表示法，因為數字 z 和 w 位于平面而非直線上。
二、已解決實例講解
示例：
考慮 f(z) = z2 + iz，并用實部和虛部表示。
解決方案：
我們知道，z = x + iy
現在，f(z) = z2 + iz
= (x + iy)2 + i(x + iy)
= x2 + i2y2 + 2ixy + ix + i2y
= x2 – y2 + 2ixy + ix – y {since i2 = -1}
= x2 – y2 – y + i(x + 2xy)
其形式為w = u + iv such that u = x2 – y2 – y and v = x + 2xy.
或者
u = u(x, y) = x2 – y2 – y
v = v(x, y) = x + 2xy
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