多倫多大學概率和建模簡介介紹概率理論，重點是構建應用的離散概率模型。完成本課程后，學生應了解隨機性的概念及其數學表示的各個方面。主題包括隨機變量、維恩圖、離散概率分布、期望和方差、獨立性、條件概率、隊列等應用。本文主要介紹離散分布的概述。

一、什么是離散分布?

離散分布是一種描述離散(可單獨計數)結果(如 1、2、3、是、否、真或假)發生的概率分布。例如，二項分布就是一種離散分布，它評估的是在給定次數的試驗中出現 "是 "或 "否 "結果的概率，給定的是每次試驗中事件發生的概率，例如擲 100 次硬幣，結果是 "正面"。

統計分布可以是離散的，也可以是連續的。連續分布是由在連續體上的結果構建而成的，例如所有大于 0 的數(包括小數延續到無窮大的數，如圓周率 = 3.14159265......)。一般來說，離散和連續概率分布的概念以及它們所描述的隨機變量是概率論和統計分析的基礎。

二、了解離散分配

散點圖是數據研究中使用的一個統計概念。希望確定特定研究結果和概率的人，通過映射數據集中的可測量數據點，繪制出概率散點圖。概率散點圖的許多形狀，如正態分布("鐘形曲線")，都可以通過散點研究得出。

統計學家可根據待測結果的性質，確定離散或連續分布的發展。正態分布是連續的，考慮了數線上所有可能的結果，而離散型分布則不同，它是由只能遵循有限或離散結果集的數據構建而成的。

因此，離散型分布代表了結果數量可數的數據，這意味著可能的結果可以放在一個列表中，然后繪制在圖形上。列表可以是有限的，也可以是無限的。例如，在確定一個有六個面的骰子的概率分布時，列表是 1、2、3、4、5、6。如果擲兩顆骰子，擲出兩顆 6(12)或兩顆 A(2)的概率要比其他組合小得多;在圖形上，你會看到圖形上最小的條代表這兩種概率。

三、離散概率分布的類型

最常見的離散概率分布是二項分布、伯努利分布、多項式分布和泊松分布。

1.二項分布

二項概率分布是一種只給出兩種結果概率的分布。在這種分布中，數據是在以兩種形式之一重復試驗后收集的，并被歸類為成功或失敗。一般來說，只有兩種可能結果的有限集合，比如零或一。例如，如果你擲硬幣，你會得到{杯子，硬幣}列表。

二叉分布用于基于二叉樹的期權估值模型。在二叉樹模型中，標的值只能有兩種可能值中的一種--在這種模型中，每次迭代只有兩種可能的結果：固定值的向上移動或向下移動。

2.伯努利分布

伯努利分布與二項分布類似，都有兩種可能的結果。進行測試時，伯努利分布的結果為 0 或 1。1表示成功，0表示失敗--這種測試稱為伯努利測試。

因此，如果你把一個綠球(代表成功)和一個紅球(代表失敗)放在一個有蓋的碗里，然后不加觀察地進行選擇，你會把每個結果記錄為 0 或 1，而不是樣本的成功或失敗。伯努利分布用于確定投資成功或失敗的概率。

3.多項式分布

當多次測量的結果可能超過兩種時，就會出現多項式分布。例如，假設你有一個蓋碗，里面有一個綠球、一個紅球和一個黃球。在測試之前，請注意隨機選擇每個彈珠作為樣本的次數。

四、計算離散概率分布

如何計算離散概率分布取決于測試、要測量的內容和測量方法。例如，如果擲兩次硬幣，可能的組合如下：

反面 /反面 (TT)

正面/反面 (HT)

反面 /正面(TH)

正面/正面 (HH)

由于擲兩次硬幣有兩種可能的結果，因此有四種可能性。每種結果代表四分之一的可能性。HT 和 TH 組合各占四分之一(基本相同)，代表一半的結果。因此，你會在四分之一的情況下得到 TT 或 HH，在一半的情況下得到 HT 或 TH。

如果擲兩顆骰子，效果也是一樣的，因為擲骰子的結果是離散的。因為每個骰子有六個面，所以有 36 種可能，但不可能出現 1 的結果，因為每個骰子上最小的數字是 1。最小的結果是 2，最大的結果是 12。許多組合會重復出現，就像硬幣的例子一樣，因此重復出現的可能性越多，寫出的情況也就越多。

如下表所示，如果把擲骰子結果的數字相加，有一種情況的結果是 2，有一種情況的結果是 12，因此 2 和 12 的概率是 36 分之一。

X(結果)等于 x(所選數字)的概率 (P) 是：

1 / 36

P(x=3) = 2 / 36

P(x=4) = 3 / 36

P(X=5) = 4 / 36

p(x=6) = 5 / 36

p(x=7) = 6 / 36

p(x=8) = 5 / 36

p(x=9) = 4 / 36

p(x=10) = 3 / 36

p(x=11) = 2 / 36

p(x=12) = 1 / 36

骰子擲出 2 的概率是 36 分之一。擲出 3 個骰子的概率是 36 分之 2，以此類推。

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