良好的數學寫作，如同良好的數學思維一樣，是一項必須通過練習和發展才能達到最佳效果的技能。本文的目的是為年輕的數學家在撰寫他們的第一篇論文時提供幫助。其目的不僅在于協助寫出一篇優秀的論文，還在于幫助學生開始思考數學寫作。如果大家在寫論文的過程中遇到困難，可以點擊藍字鏈接直接咨詢。

一、正式與非正式的闡述

一旦您為論文有了一個基本的大綱，您應該考慮“由定義、定理和證明組成的正式或邏輯結構，以及由動機、類比、示例和元數學解釋組成的互補的非正式或介紹性材料。在任何數學表述中，這種材料的劃分都應顯著地保持，因為該學科的性質首先要求邏輯結構清晰。”
這兩種類型的材料并行工作，以使您的讀者在邏輯上和認知上都能理解您的工作（這兩者往往大不相同——在您能夠證明微積分基本定理之前，有多少人認為可以使用反導數來計算積分？）“由于正式結構不依賴于非正式結構，作者可以先完整詳細地寫出前者，然后再添加后者。”

因此，寫作過程的下一個階段可能是為您的論文的邏輯結構制定一個大綱。幾個問題可能會有所幫助：首先，您到底證明了什么？這些定理所依據的引理（您自己的或他人的）是什么。這些定理的推論是什么？在決定哪些結果稱為引理，哪些稱為定理，哪些稱為推論時，問問自己哪些是核心思想。哪些是自然地從其他結果推導出來的，哪些是論文的真正關鍵部分？寫作的結構要求您的假設和推論必須符合線性順序。
然而，很少有研究論文實際上具有線性結構，即引理變得越來越復雜，一個接一個，直到證明了一個定理，然后是一系列越來越復雜的推論。相反，大多數證明可以用非常復雜的圖表來建模，其中幾個基本假設以復雜的方式與一些著名的定理相結合。
可能有幾條看似獨立的推理線在最后一步匯聚。不用說，任何斷言都應遵循其依賴的引理和定理。然而，可能有許多線性順序滿足這一要求。鑒于此困難，您有責任首先理解這種結構，其次安排您寫作中必然的線性結構，以盡可能好地反映工作的結構。當然，具體的方式取決于具體情況。

一種有助于揭示您論文復雜邏輯結構的技術是對結果進行恰當的命名。通過適當地命名您的結果（引理作為基礎，定理作為真正的實質，推論作為最后的工作），您將在引理中創造一種平行感，并幫助您的讀者在沒有與您一起經歷研究的情況下，欣賞哪些是真正關鍵的思想，哪些他們可以更快地瀏覽。

另一種開發簡潔邏輯大綱的技術源于保羅·哈爾莫斯（Paul Halmos）在《如何寫數學》（HTWM）中的一個警告，即永遠不要重復證明：

如果定理2 的證明中的幾個步驟與定理 1 的證明的部分非常相似，這是一個信號，表明可能有些東西沒有被完全理解。同一問題的其他癥狀是：“使用與定理 1 的證明相同的技術（或方法、設備、技巧）……”，或者，更直白地說，“見定理 1 的證明”。當這種情況發生時，很有可能有一個值得發現、制定和證明的引理，從這個引理中可以更容易、更清晰地推導出定理 1 和定理 2。（第 35 頁）

在您開始寫論文之前，應該仔細考慮這些結構問題，盡管寫作過程本身肯定會幫助您更好地理解結構。

既然我們已經討論了正式結構，現在我們轉向非正式結構。正式結構包含正式的定義、定理證明格式和嚴格的邏輯，這是“純”數學的語言。非正式結構補充了正式結構，并與之并行。它使用不太嚴格（但同樣準確！）的語言，在闡明工作的數學位置（如我們上面所討論的）以及向讀者呈現更具認知性的工作展示方面發揮著重要作用。因為盡管數學家們用邏輯語言寫作，但很少有人實際上用邏輯語言思考（盡管我們確實是邏輯思考），所以為了理解您的工作，通過微妙地展示為什么某事是真實的以及您如何證明這樣的定理，他們將得到極大的幫助。在寫作之前，概述您希望在這些非正式部分傳達的內容，很可能會導致更有效的溝通。

在您開始寫作之前，您還必須考慮符號。符號的選擇是撰寫研究論文的關鍵部分。實際上，您正在發明一種語言，您的讀者必須學習才能理解您的論文。好的符號首先讓讀者忘記他正在學習一種新語言，其次為您的證明要點提供了一個清晰易懂的框架。另一方面，糟糕的符號是災難性的，可能會阻止讀者甚至閱讀您的論文。在大多數情況下，遵循慣例是明智的。使用ε 表示素數，或 x(f) 表示函數，當然是可能的，但幾乎從來都不是一個好主意。

二、撰寫證明

撰寫好證明的第一步是陳述定理。一個措辭恰當的定理將使證明的撰寫容易得多。定理的陳述首先應包含完全正確的假設。當然，所有必要的假設都必須包括在內。另一方面，無關的假設只會分散定理的重點，并應在可能的情況下予以消除。

在撰寫證明時，就像撰寫整篇論文一樣，您必須以線性順序寫下一組可能不是線性形式的假設和推論。我建議，在您寫作之前，您規劃出假設和推論，并嘗試以一種對讀者造成最少困惑的方式對陳述進行排序。例如：

在《如何寫數學》（HTWM）中，哈爾莫斯（Halmos）在撰寫證明方面提供了幾個重要的建議：

1. 正向撰寫證明

糟糕教學的一個常見技巧是在證明開始時說：“給定 ε，設 δ 為 ε/2”。這是經典分析中傳統的反向證明寫作。它的優點是易于被機器驗證（而不是被人類理解），并且它有一個可疑的優點，即在最后會得出小于 ε 的結果。使人類讀者的任務不那么艱巨的方法很明顯：正向撰寫證明。像作者總是開始的那樣，從小于 ε 的東西開始，然后做需要做的事情——在正確的時間乘以 3M² + 7，稍后除以 24 等等——直到您得到最終的結果。兩種安排都不優雅，但正向的那個是可理解和可記憶的。（第 43 頁）

2. 避免不必要的符號。考慮：

一個由用等號分隔的一長串表達式組成的證明。這樣的證明很容易寫。作者從第一個方程開始，進行自然的代換得到第二個方程，收集項，置換，插入并立即消去一個有靈感的因子，通過這樣的步驟一直進行，直到得到最后一個方程。這再次是編碼，讀者不僅被迫在閱讀時學習，而且同時還要在閱讀時解碼。
這種雙重努力是不必要的。作者通過再花十分鐘寫一個精心措辭的段落，可以為每個讀者節省半小時和大量的困惑。該段落應該是一個行動的配方，以取代僅僅報告行動結果并讓讀者猜測它們是如何獲得的無益代碼。該段落會說類似這樣的話：“對于證明，首先用 p 代替 q，收集項，置換因子，最后，插入并消去因子 r。