題目 1

　　Consider the sequence

　　x[n] = sin(πn / 3) / (πn), n = …, −1, 0, 1, 2, …

　　(a) What is the Fourier transform of x[n]?

　　(b) Using MATLAB, plot the Fourier transform of

　　xN[n] = { x[n], −N ≤ n ≤ N; 0, otherwise }

　　for N = 1, 3, 5, 100, and 1000, and ω ∈ (−π, π) with step Δω = π/500.

　　答案 1

　　(a)

　　該序列為理想低通濾波器的離散形式。

　　根據性質：

　　x[n] = sin(ωc n) / (πn) ⇔

　　X(e^jω) = 1, 當 |ω| ≤ ωc;

　　X(e^jω) = 0, 其他情況。

　　因此 ωc = π/3，

　　得到：

　　X(e^jω) = 1，|ω| ≤ π/3;否則 X(e^jω) = 0。

　　(b)

　　定義有限長序列：

　　xN[n] = x[n], 當 −N ≤ n ≤ N;否則為0。

　　當 N = 1, 3, 5, 100, 1000 時繪制傅里葉變換結果。

　　結果說明：

　　N 小時主瓣寬，旁瓣明顯;

　　N 增大后主瓣更接近理想矩形形狀，旁瓣衰減。

　　當 N → ∞ 時，頻譜逼近理想矩形。

　　題目 2

　　The frequency response of an LTI system is

　　H(e^jω) = e^(−jω/4), −π ≤ ω ≤ π.

　　Determine the output of the system to

　　x[n] = cos(5πn / 2).

　　Express your answer in as simple a form as you can.

　　答案 2

　　將輸入寫成復指數形式：

　　x[n] = 0.5(e^(j5πn/2) + e^(−j5πn/2))。

　　系統響應：

　　y[n] = 0.5[H(e^(j5π/2))e^(j5πn/2) + H(e^(−j5π/2))e^(−j5πn/2)]。

　　代入 H(e^jω) = e^(−jω/4)，得：

　　y[n] = cos(5πn/2 − 5π/8)。

　　最終答案：y[n] = cos(5πn/2 − 5π/8)。

　　題目 3

　　What can you say about the periodicity of the output of an LTI system

　　when its input is a periodic sequence of period N?

　　Prove your answer.

　　答案 3

　　證明如下：

　　系統輸出為

　　y[n] = Σ h[k]x[n − k]。

　　若輸入滿足 x[n + N] = x[n]，

　　則

　　y[n + N] = Σ h[k]x[n + N − k] = Σ h[k]x[n − k] = y[n]。

　　結論：當系統為線性時不變系統時，輸入為周期 N 的序列，則輸出同樣周期為 N。

　　題目 4

　　輸入信號：

　　x[n] = (1/2)^n * u[n] + 2n * u[−n−1]

　　系統輸出：

　　y[n] = 6(1/2)^n * u[n] − 6(3/4)^n * u[n]

　　(a) Find the transfer function H(z).

　　(b) Find the impulse response h[n].

　　(c) Determine whether the system is stable.

　　答案 4

　　(a)

　　由 Y(z) = H(z)X(z) 得 H(z) = Y(z)/X(z)。

　　Z{(1/2)^n u[n]} = z / (z − 1/2)

　　Z{(3/4)^n u[n]} = z / (z − 3/4)

　　因此：

　　X(z) = z / (z − 1/2)

　　Y(z) = 6z / (z − 1/2) − 6z / (z − 3/4)

　　H(z) = [6z/(z−1/2) − 6z/(z−3/4)] ÷ [z/(z−1/2)]

　　化簡得：

　　H(z) = (3/2) / (z − 3/4)

　　(b)

　　沖激響應為 H(z) 的反Z變換：

　　h[n] = (3/2)(3/4)^n u[n]

　　(c)

　　穩定性條件：Σ |h[n]| < ∞

　　Σ |h[n]| = (3/2) Σ (3/4)^n = (3/2)/(1 − 3/4) = 6 < ∞。

　　系統穩定。

　　題目 5

　　Consider a system with input x_c(t) → sampler → x[n] → squarer y[n] = x[n]^2 → DAC → y_c(t).

　　Given that X_c(jΩ) = 0 for |Ω| > 2000π,

　　find the largest sampling period T such that

　　y_c(t) = [x_c(t)]².

　　答案 5

　　要保證 y_c(t) = [x_c(t)]² 成立，采樣必須滿足無混疊條件。

　　信號最高頻率為 Ω_max = 2000π。

　　根據采樣定理：Ω_s ≥ 2Ω_max

　　即 (2π / T) ≥ 4000π → T ≤ 1 / 2000。

　　最大采樣周期：T_max = 1 / 2000 秒。